Suite extraite - Sous-suite

Définition

Définition : Une suite extraire (ou une sous-suite) est une suite de la forme : $(u_{\varphi(n)})$ où $\varphi:{{\Bbb N\to\Bbb N}}$ est strictement croissante
(Ensemble des entiers naturels, Fonction strictement croissante)
Valeur d'adhérence

Propriétés

Si $\varphi:{\Bbb N}\to{\Bbb N}$ est strictement croissante, alors on a $$\varphi(n)\geqslant n$$
(Fonction strictement croissante, Ensemble des entiers naturels)

Intérêt

Proposition :
$(u_n)_{n\in\Bbb N}$ converge vers $\ell$ $\iff$ toute sous-suite $(u_{\varphi(n)})$ de $(u_n)_{n\in\Bbb N}$ converge vers $\ell$
(Suite convergente)

Démontrez l'équivalence $(u_n)_{n\in\Bbb N}$ converge vers $\ell$ $\iff$ toute sous-suite $(u_{\varphi(n)})$ de $(u_n)_{n\in\Bbb N}$ converge vers $\ell$

$\varphi(n)\geqslant n$
$\implies$ : puisque $\varphi$ est strictement croissante, on a : $$\begin{align} &\varphi(n+1)-\varphi(n)\geqslant1\\ \implies&\varphi(n)\geqslant n\end{align}$$

Remplacer $u_n$ par $u_{\varphi(n)}$ dans la définition de la limite
Si $u_n\longrightarrow\ell$, alors $\forall\varepsilon\gt 0,\exists N,\forall n\geqslant N,\quad\lvert u_n-\ell\rvert\lt \varepsilon$
Or $\varphi(n)\geqslant n$, donc $$\lvert u_{\varphi(n)}-\ell\rvert\lt \varepsilon$$

Par l'absurde, construction de $\varphi$

$\impliedby$ : montrons par l'absurde que $u_n\not\longrightarrow\ell$
On suppose que $\exists\varepsilon_0,\exists n\in{\Bbb N},\quad\lvert u_n-\ell\rvert\gt \varepsilon_0$
Soit un tel $n$, et $\varphi$ tq $\varphi(0)=n$
Alors il existe $m\gt n$ tq $\varphi(1)=m$
Récursivement, on construit $$\lvert u_{\varphi(n)}-\ell\rvert\geqslant\varepsilon_0\gt 0$$or, $u_{\varphi(n)}\longrightarrow\ell$, donc il y a une contradiction
On a donc bien $u_n\longrightarrow\ell$

(Raisonnement par l'absurde)

Démonstration :
Si $(u_{\varphi(n)})_{n\in\Bbb N}$ est une sous-suite de $(u_n)_{n\in\Bbb N}$ avec $\varphi:\Bbb N\to\Bbb N$ strictement croissante. Comme $u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow\ell$, $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N\in\Bbb N\text{ tq }n\geqslant N\implies\lvert u_n-\ell\rvert\lt \varepsilon$$ remarquons que $\varphi:\Bbb N\to\Bbb N$ est strictement croissante ($\implies\forall n\geqslant0,\varphi(n)\leqslant n$). Donc $$\begin{align}n\leqslant N\implies&\varphi(n)\geqslant n\geqslant N\\ \implies&\lvert u_{\varphi(n)}-\ell\rvert\lt \varepsilon\end{align}$$
(Suite convergente)

Exemples

Exemple : ^[soit $(u_n)=(-1)^n,n\geqslant0$
Soit $\underset{n\mapsto2n}{\varphi:\Bbb N\to\Bbb N}$, $u_{\varphi(n)}=1$
Soit $\underset{n\mapsto2n+}{\varphi:\Bbb N\to\Bbb N}$, $u_{\varphi(n)}=-1$]
Exemple : ^[soit $(u_n)_{n\in\Bbb N}=(-1)^n$
On remarque que $u_{2n}=1$ et $u_{2n+1}=-1$
Donc $(u_n)$ ne converge pas]

Exercices

Exercices : ^[soit $(u_n)$ une suite telle que les suites extraites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$ sont convergentes. Montrer que $(u_n)$ converge $$\begin{align}&\text{d'une part, }(u_{6n})\text{ est une sous-suite de }(u_{2n})\text{, donc }\\ &\lim_{n\to+\infty}u_{6n}=\lim_{n\to+\infty}u_{2n}=\ell_1\\ & \text{d'autre part, }u_{6n}\text{ est une sous-suite de }(u_{3n})\text{, donc }\\ &\lim_{n\to+\infty}u_{6n}=\lim_{n\to+\infty}u_{3n}=\ell_2\\ \\ &\text{donc }\ell_1=\ell_2\text{ d'après l'unicité de la limite de }(u_{6n})\\ \\ &\text{idem avec }(u_{9n}), (u_{2n+1})\text{ et }(u_{3n})\\ \\ &\text{comme }u_{2n} \text{ et }u_{2n+1}\text{ convergent vers la même limite,}\\ &\text{alors }(u_n) \text{ converge}\end{align}$$]

Montrer que si $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $$u_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\ell$$

Définition de la limite
On note $v_n=u_{2n}$ et $w_n=2_{n+1}$
On a : $$\begin{align}&\forall\varepsilon\gt 0,\exists N_1\in{\Bbb N},\forall n\geqslant N_1,\quad\lvert u_{2n}-\ell\rvert\lt \varepsilon\\ &\forall\varepsilon\gt 0,\exists N_2\in{\Bbb N},\forall n\geqslant N_2,\quad\lvert u_{2n+1}-\ell\rvert\lt \varepsilon\end{align}$$

Réécriture des définitions : on cherche les conditions sur $n$ pour que $\lvert u_n-\ell\rvert\lt \varepsilon$
Si $n$ est pair $n\geqslant 2N_1$, alors $\lvert u_n-\ell\rvert\lt \varepsilon$
Si $n$ est impair et $n\geqslant2N_2+1$, alors $\lvert u_n-\ell\rvert\lt \varepsilon$

Poser $N$ tq tout $n\geqslant N$ remplisse les conditions pour que $\lvert u_n-\ell\rvert\lt \varepsilon$

Soit $\varepsilon\gt 0$. On pose $N=\max(2N_1+2022,2N_2+2022)$
Soit $n\geqslant N$
si $n$ est pair, alors $n\geqslant N\geqslant 2N_1+2022\gt 2N_1$, donc on a $\lvert u_n-\ell\rvert\lt \varepsilon$

si $n$ est impair, alors $n\geqslant N\geqslant2N_2+2022\gt 2N_2+1$, donc on a $\lvert u_n-\ell\rvert\lt \varepsilon$

Donc on a bien : $$\forall n\geqslant N,\quad \lvert u_n-\ell\rvert\lt \varepsilon\implies u_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\ell$$

(Parité)

Math'φsics

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